塔和超立方体| 科学游戏
在河内一座小小的塔楼里，有两个圆盘 A 和 B， 正如我们上周所看到的，执行从一个轴到另一个轴的转移的运动顺序是 ABA。 在三盘 A、B 和 C 中，顺序是 ABACABA。 也就是说，首先我们像三盘塔一样移动上面的三个圆盘，然后改变第四个圆盘的轴，最后重复三个圆盘的移动，将它们放在第四个圆盘上。 对于四个圆盘 A、B、C 和 D，过程类似：我们将前三个圆盘移动到另一个轴，将第四个圆盘更改为自由轴，然后重复前三个圆盘的顺序，将它们放置在第四个轴上：阿巴卡巴达巴卡巴。 因此，随着圆盘数量的增加，所需的移动次数按照顺序 1, 3, 7, 15, 31, 63… 增加，对于 n 个圆盘，所需的移动次数为 2ⁿ– 1，这解释了数值重合两个所谓的印度传说之间：国际象棋发明者的传说和贝拿勒斯神庙中 64 个金盘塔的传说。 正如我们还看到的，移动由三个圆盘组成的塔所需的运动顺序对应于 汉密尔顿之旅 由立方体的顶点。 但事情并没有就此结束（它才刚刚开始）：四个圆盘塔的运动顺序对应于穿过超正方体（4 维超立方体）顶点的哈密顿路线。 等等，无限地依此类推：正如数学家 DW Crowe 在二十世纪中叶所证明的那样，这种对应关系适用于任何高度的塔和任何尺寸的立方体：运动的次数以及 n 个圆盘的顺序 河内的一座塔 为了将它们转移到另一个轴，它们与 n 维超立方体中哈密顿路径的方向（和维度）序列完全对应。 更多信息 两位伟大的数学家大约在同一时间设计的两个木制拼图，汉密尔顿的十二面体和卢卡斯的河内塔，在一家玩具店的架子上重合。 乍一看似乎毫无关系； 但是，就像在十九世纪的肥皂剧中一样，他们最终发现他们是（拓扑上的）兄弟。 书法图形 上周，由于技术问题，评论部分被关闭，所以我会回去，这是九年来的第一次 致两周前的那些人。 Bretos Bursó […]
塔、立方体和棋盘| 科学
河内塔 是法国数学家设计的一个流行谜题 爱德华·卢卡斯 19世纪末。 它由三个垂直轴组成，其中一个垂直轴上堆叠一定数量的尺寸递减的穿孔盘，从底部开始从大到小。 挑战是将所有圆盘从它们所在的轴移动到另外两个圆盘之一，遵循以下简单规则： 一次只能移动一个圆盘，要移动它，所有其他圆盘都必须拧在某个轴上。 磁盘不能位于较小磁盘之上。 只能移动位于轴顶部的圆盘。 显然，光盘越多，传输就越复杂（在拼图的商业版本中通常有五到八张）。 达达主义 河内的一座塔 对于单个圆盘来说，这是微不足道的，很明显，一次移动就足以将该圆盘移动到另一个轴。 具有两个圆盘的塔也很简单：我们将较小的圆盘转移到两个自由轴之一，将较大的圆盘转移到另一个自由轴，最后将较小的圆盘放在较大的自由轴上。 现在让我们考虑一个由三个圆盘组成的塔，我们将其从最小到最大称为 A、B 和 C。对于第一个运动，只有一个选项：将圆盘 A 转移到两个自由轴之一。 对于第二次运动，只有一个非重复选项：将盘 B 移动到自由轴。 以下运动不是唯一的，但它们非常明显：3）A在B上，4）C在自由轴上，5）A在自由轴上，6）B在C上，7）A在B上。顺序是，然后，ABACABA。 更多信息 立方体 正如我们上周看到的汉密尔顿在柏拉图立体中研究了以他的名字命名的路线，其中包括通过所有顶点一次且仅一次。 对于立方体，如果我们称 A 为垂直方向，B 为水平方向，C 为前后方向，例如，从立方体的左上顶点开始，先向下，然后向右，然后向上，然后向后等等，直到完成简单的哈密顿路径，我们将看到方向（和维度）序列是ABACABA，与河内三盘塔中的相同。 仅仅是巧合？ 我邀请聪明的读者检查一下，找到由四个圆盘组成的塔的传输顺序，然后寻找一条穿过超立方体顶点的哈密顿路径（对于那些无法直接访问第四维的人来说，一个三维投影，如附图所示）。 两条路线有相似之处吗？ 超立方体的表示。卡罗·弗拉贝蒂 董事会 根据一个众所周知的传说， 国际象棋的传奇发明者 他向印度国王请求在棋盘的第一格放一粒麦子，第二格放两粒麦子，第三格放四粒麦子，第四格放八粒麦子，以此类推，直到第64格，使棋盘上的麦粒数量增加了一倍。每一个。 前一粒小麦。 那么，这个数字（18,446,744,073,709,551,615）等于将河内塔的所有棋子从一个轴移动到另一个轴所需的转移次数，该塔有 64 个棋盘，与棋盘上的格子一样多。 又一个巧合？ 顺便说一句，如果 64 个圆盘是金制成的，轴是钻石针，我们就会面临梵天塔的（杜撰的）传说，根据这个传说，当贝拿勒斯神庙的祭司完成移动时，世界就会终结。所有圆盘到另一个轴。 但不要惊慌：即使勤奋的僧侣每秒移动一个圆盘而不休息片刻，世界末日也不会迫在眉睫。 您可以关注 材料 在 Facebook, X e […]
沿着欧拉和汉密尔顿的道路| 科学游戏
关于帕斯卡-塔塔利亚-贾亚姆三角形中的“隐藏宝藏”，我们上周再次讨论了弗朗西斯科·维森特与斐波那契数列的关系（见脚注）。 image），下图是我自己创作的： 关于三角形中数字 e 的存在，Luca Tanganelli 说道：“我想到的 Jayam 三角形与 e 的关系如下。 三角形以其中心形式绘制，使两个相邻数字之间的距离等于线之间的距离。 然后绘制一条穿过 1-2-1 行的顶点和两端的抛物线。 在相同高度下，纵轴上的三角形的值与抛物线上的三角形的值之间的关系趋于e”。 太棒了，但是有人能想到一种更简单的关系吗？ Salva Fuster 提出了一个有趣的问题，我将其提交给聪明的读者考虑：“寻找猫的三英尺，我突然想到十进制数是否形成为 0，……其中我们用串联代替省略号构成三角形对角线的数字的数字总是无理数（第一个除外）： 0,1111… 0,1234… 0,13610……” 更多信息 欧拉和哈密顿之旅 几周前（见评论 2024 和四面体数）欧拉路径和哈密顿路径之间出现了短暂的混乱, 这是指出两条路线之间差异的一个很好的借口，这两条路线通常被认为是等效的，尽管实际上并非如此。 欧拉路径穿过图形（从数学上讲是图形）的所有边，每个边仅穿过一次。 绘制图形（例如，打开的信封）而不将铅笔从纸上抬起且不返回已绘制的线的典型消遣是通过欧拉路径解决的。 如果路径是闭合的（即，如果它在起点的同一点结束），则它是欧拉循环。 请注意，在众所周知的开放信封消遣中，有可能（事实上这是不可避免的）再次穿过相同的顶点，但不能穿过同一条线。 绘制信封，构成欧拉路径的经典示例 然而，在哈密顿路径中，它只穿过所有顶点一次。 与前面的情况一样，如果路径是闭合的，则称为哈密顿循环。 当然，一条路径可以同时是欧拉路径和哈密顿路径（一条路径必须满足什么条件才能既是欧拉路径又是哈密顿路径） 欧莱里亚诺 是哈密尔顿吗？）。 就像最近重新审视的帕斯卡-塔塔利亚三角形一样，我们所知的哈密顿路径早已被东方数学家研究过。 早在 9 世纪，印度诗人鲁德拉塔 (Rudrata) 就谈到了“马的路径”：跳吉格围绕整个棋盘的旅程，每个方格只经过一次（你能完成这个旅程吗？你明白为什么这是一个哈密顿路径？？）。 汉密尔顿研究了柏拉图立体中以他的名字命名的路径，并于 1857 年允许销售基于汉密尔顿路径的谜题，该谜题包括沿着十二面体的边缘找到一条仅通过其所有顶点一次的路径（它似乎汉密尔顿当时收到的 25 英镑是他因数学发现而收到的全部钱）。 您可以享受解决这个问题的乐趣，而无需使用十二面体本身，即三维：它在平面上的投影也同样有效（因此问题的第一部分包括绘制十二面体的二维拓扑等价物） ）。 您可以关注 材料 […]
数学：2024 和四面体数 | 科学游戏
堆叠球体四面体卡罗·弗拉贝蒂 我必须首先纠正一个遗漏： 上周我谈到了 2024 年 和方锥体数，我没有提到2024也是一个锥体数，虽然不是正方形而是三角形。 幸运的是，我善良的读者通常都知道：哈维尔·塔梅斯 (Javier Tamames) 提醒我，2024 年是一个 四面体数 （也称为三角锥数字），伊格纳西奥·拉罗萨 (Ignacio Larrosa) 以堆叠球体的三角金字塔的形式发送了一个雄辩的可视化，其 22 层加起来为 2024 年。 底面为三角形的金字塔是四面体，因此三棱锥数也称为四面体。 如果在球体堆叠的可视化中，我们将每个级别的球体相加，从顶部开始，我们将获得四面体编号的序列（对应于四面体的球体数量 1、2、3、4…每边都有球体）：1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364… 更多信息 金字塔的连续层依次形成三角形数字序列（可显示为球体的等边三角形）： 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78… 底面为三角形的金字塔是四面体卡罗·弗拉贝蒂 因此，第 n 个四面体数 (Tn) 是前 n […]