当在空中抛硬币时，它更有可能落在抛掷的同一面 | 咖啡和定理| 科学
想象一下，您拿起一枚硬币，准备将其扔到空中。 你认为它正面朝上的概率是多少？ 从哪一边扔出去有关系吗？ 大多数人都会说 出现正面的概率是 50%不管硬币的初始位置如何，但事情并没有那么简单。 前两个问题对应于两个不同的事件。 第一个涉及正面或反面出现的概率，两者都是一样的。 然而，第二个指的是如果硬币在抛出之前面朝上，则正面朝上的概率。 第二个概率称为条件概率，可以与第一个概率不同。 关于这个问题，2007年，数学家 佩里斯·迪肯, 苏珊·霍姆斯 理查德·蒙哥马利（Richard Montgomery）提出了一个物理模型，该模型显示出轻微的偏向于硬币在抛掷时落地的情况。 总之，他们指出，当向空中抛掷硬币时，51% 的情况下硬币会落在抛掷的同一面。 然而，如果您不知道硬币是如何放置的，则正面或反面出现的概率为 50%。 但怎么可能完全确定地说概率就是这样呢？ 这是一个估计问题，也就是说，从一开始我们就不知道获得正面的概率，我们想根据证据正确估计它的值。 更多信息 使其成为解释的一部分的最著名的方法 作为频率的概率，从而产生了所谓的频率统计。 更具体地说，在这种方法下，我们想要估计的概率被解释为在相同条件下无限多次抛硬币时观察到的正面的比例。 因此，为了近似它，在相同条件下多次抛硬币就足够了，并通过观察到的正面的比例来近似真实概率。 概率论和统计学史上的伟大人物都使用了频率论方法，例如 布冯伯爵 哦 卡尔·皮尔逊。 首先，他抛硬币 4040 次，得到 2048 个正面，这代表概率估计为 4040/2048 = 0.5069，即 50.69%； 第二个投掷了 24,000 次，其中 12,012 次摔倒，露出脸部的概率为 50.005%。 然而，这种方法的出发点造成了一定的悖论：在完全相同的条件下抛硬币，难道不会得到相同的结果吗？ 牛顿物理学 我肯定是的，事实上，正是最初的微小变化导致了结果的随机性，这就是为什么考虑重复的前提是自相矛盾的。 当研究患病概率时，这个起点就更加难以捉摸……那么，应该重复什么呢？ 人的一生？ 另外，需要抛多少次才能足够接近真实值？ 因此，尽管频率论方法是一种有效且经过充分研究的方法，但它有时会导致某些难以解释的推理，甚至导致它在一些科学期刊中受到质疑。 更多信息 为了克服这些限制，可以使用另一种统计方法： 什么是所谓的贝叶斯。 […]
施泰纳椭圆 | 科学游戏
正如我们所看到的 上星期，“女学生问题”承认 7 个非同构解（即具有不同的结构），由美国数学家 Frank Nelson Cole（1861-1926）于 1922 年列出，他在 20 世纪初因发现第 67 个梅森数 (2⁶⁷– 1) 的因子。 爱德华·卢卡斯（Édouard Lucas）已经证明 M₆₇ 不是素数，但他无法分解它。 当纸和笔是唯一可用的计算器时，科尔完成了找到这些因素的壮举（正如他承认的那样，三年来每周日都致力于解决这个问题）： M⁶⁷ = 147.573.952.589.676.412.927 = 193.707.721 × 761.838.257.287 科尔还计算了（与之前的计算相比有点小）女学生问题的解总数 – 包括同构解： 十五！ x 13/42 = 404,756,352,000（你如何得到这个数字？）。 更多信息 正椭圆和椭圆 正如我们上周看到的，瑞士数学家雅各布·施泰纳（Jakob Steiner）除了对组合设计理论做出了重要贡献（他的“最小树”——图形盆景—— 我们已经处理这个问题五年了）是有史以来最伟大的几何学家之一； 据一些人说，他是佩尔加的阿波罗尼乌斯之后最伟大的人物。 他厌恶解析几何，认为解析几何污染了“纯”几何，他的工作完全基于合成和射影几何的方法，他对合成和射影几何的发展做出了显着的贡献。 在谈论施泰纳时提到阿波罗尼乌斯特别相关，因为像这位伟大的几何学家一样，他对几何学做出了重要贡献。 二次曲线的研究。 在这一领域，斯坦纳最著名的是他的三角形外接椭圆和内接椭圆。 施泰纳外接椭圆是唯一通过一个椭圆的所有三个顶点的椭圆 三角形 其中心是它的质心或质心（请记住，三角形的质心是其中线的交点，如果我们将其视为物理对象，则它与其重心重合）。 有人可能认为圆也是椭圆，因此三角形的外接圆也是斯坦纳外接椭圆。 但事实并非如此，因为外接圆的中心（外心）是三角形平分线的交点，而不是其中线的交点（原因很明显：三角形的所有点 媒体矩阵 每条边与该边对应的两个顶点的距离相等，因此平分线的交点与三个顶点的距离相等）。 在其他属性中，斯坦纳外接椭圆是所有由三角形外接的椭圆中面积最小的一个（你能根据三角形的面积计算它吗？）。 当我们在没有指定任何其他内容的情况下谈论斯坦纳椭圆时，我们指的是它的外接椭圆，不应将其与内椭圆混淆。 […]
组合设计| 科学游戏
六分仪的第二节， 正如我们上周所看到的，重新排列了六节经文的结尾，从 ABCDEF 到 FAEBDC。 如果我们应用相同的标准从第二个到第三个，从第三个到第四个等等，我们得到序列： ABCDEF、FAEBDC、CFDABE、ECBFAD、DEACFB、BDFECA。 如果我们将诗意符号中表示主要艺术诗句结尾的传统大写字母改为数字，并垂直排列与连续诗节相对应的序列，我们得到以下方案： 1 6 3 5 4 2 2 1 6 3 5 4 3 5 4 2 1 6 4 2 1 6 3 5 5 4 2 1 6 3 6 3 5 4 2 1 任何行或列中都没有重复的数字，因此 sestina 方案就像简化的数独，数字为 1 到 6，而不是 1 到 9。 数独是一个拉丁方数。 这次，诗歌可能先于数学出现，因为第一首 […]
诗歌与数学| 科学游戏
原因是， 正如我们上周看到的一本我不想记住名字的杂志对“这个问题的正确答案有多少个字母？”这个问题给出了“四”作为一个荒谬的答案。 很可能是他们从英语翻译过来的，而英语是一种语言 四 它是唯一一个其名称具有该数字本身所指示的字母数量的数字（尽管在德语中它也是四个： 四）。 在意大利语中，问题的答案是 三在日语中有两种可能性： 在 y 桑。 一个有趣的问题要求我们找出如果七个元素必须出现在相同数量的组中并且仅在一组中出现两到两个，则可以将七个元素分为七组，每组三个元素有多少种方式，但尚未解决我聪明的读者们。 ，所以它仍然悬而未决。 那些三三两两走路的女学生也不是这样的； 但这是一个经典问题，互联网上有大量关于它的文档（它甚至在维基百科上有自己的条目），我推荐那些希望知道它的解决方案的人。 更多信息 单数（和复数）sextina 根据最近几周解决的组合问题，弗朗西斯科·蒙特西诺斯 (Francisco Montesinos) 评论道：“给定 7 个元素的某种排列，例如彩虹的 7 种颜色，还有多少种其他排列使得 7 个元素中的任何一个都不存在？它们中的任何一个与它在给定排列中占据的位置重合吗？ 这个问题邀请我们思考《塞斯蒂娜》，这是一种将诗歌和数学结合在一起的奇特诗作。 为了创作一首诗，我们从六节互不押韵的十音节诗句开始，这些诗句的最后六个单词在其他五节六行诗中重复，但总是占据不同的位置：在第二节中，第一节最后一节的结尾移至第一位，因此第一个结尾变为第二个结尾； 倒数第二个移动到第三位，所以第二个变成第四个； 倒数第二个移动到第五位，第三个移动到第六位。 第一批塞斯蒂纳曲是由奥克西唐语游吟诗人阿尔诺·丹尼尔（Arnaut Daniel）于 12 世纪创作的（但丁很欣赏他，称他为 最好的铁匠 母语的言语），几个世纪以来，它一直受到从彼特拉克到埃兹拉·庞德等一流诗人的选择和赞扬。 加泰罗尼亚诗人兼造型艺术家琼·布罗萨（Joan Brossa）无疑是最孜孜不倦地培育它的当代作家，因为他专门写了四卷书，并探索了古典结构的可能变体。 作为这种独特诗歌作品的一个例子，以下是费尔南多·德·埃雷拉 (Fernando de Herrera) 的《塞斯蒂娜》的前两节： 致你美丽的双眸 我的胸膛在甜蜜的火焰中燃烧着爱 并释放出寒冷雪的严酷， 这阻碍了我灵魂的游戏， 和金线的紧密联系 我感到我的脖子被囚禁并受制于枷锁。 我傲慢的自以为是从我的脖子上掉了下来， 我的眼睛看到了你的失落， 当你把你的绳子交给我之后 女士，我在温柔的火焰中燃烧之后； 但我的灵魂却在邪恶中快乐， […]
组合学和自参考| 科学游戏
英国数学家托马斯·P·柯克曼 (Thomas P Kirkman) 主要因一个以他的名字命名的组合数学问题“柯克曼的女学生”而被人们所铭记。阿拉米库存照片 厄瓜多尔人隐藏的命运，如果拉丁谚语 在诺门预兆 是真的， 正如上周所说，可能是“航空”，这是“厄瓜多尔”一词的令人惊讶的字谜。 如果我们谈论隐藏在名字字母中的假定信息，我们不能不提到安德烈·布雷顿通过重新排列“字母”而组成的著名的贬义字谜。萨尔瓦多·达利”：阿维达美元。 （你能用一些名人的字母组成其他暗示性的字谜吗？） 至于现在经典的自指逻辑难题“这个问题的正确答案有多少个字母？”，“官方”和最简单的答案是“五个”。 顺便说一句，在一本我不想记住名字的杂志上，他们发表了这个谜语，答案是“四”，这引起了必要的元问题：你认为他们给出这样一个答案的原因是什么？荒谬的谜题答案？ 众所周知？ 更多信息 答案“五”可能看起来很独特，但事实并非如此，我们的定期评论员 Bretos Bursó 给出了另外两个同样有效的答案：“四十二的一半”和“七的两倍”。 我们可以按照同样的思路添加其他内容，例如“正好有二十个”。 另一方面，不太精确的答案也是有效的，但并非不正确，例如“少于十二”。 自我参照是谜语、悖论和惊喜的取之不尽用之不竭的源泉。 还有一些定理，例如哥德尔的定理。 还有“诡计”（用引号引起来，因为它们实际上是逻辑游戏），例如在一张纸上写下一些内容并告诉受害者：“我写了一份声明，它可能是真的，也可能不是真的。 。 如果你说“是”并且我写的内容是真实的，那么你赢了，如果你说“否”并且我写的内容不真实，那么你也赢了，否则我赢了。 “我跟你打十比一的赌，我会赢。” 你可以用一百或一千对赌，因为纸上写着“你会说不”。 分组的元素和散步的女学生 如果说自我参照是惊喜和头痛的无穷无尽的来源，那么组合数学，我们最近几周反复出现的另一个主题，也同样如此。 举个例子，这个问题是由 Ignacio Alonso 提出的： 如果七个元素出现在相同数量的组中并且仅在一组中出现两到两个，那么它们可以有多少种方式分为七组，每组三个元素？ 七元素问题的简化形式让人想起经典的柯克曼女学生问题，该问题由英国数学家托马斯·柯克曼（Thomas P. Kirkman）（他对组合分析和群论做出了重要贡献）于 19 世纪提出，并因 爱德华·卢卡斯 在他的一本“数学娱乐”汇编中。 被称为“女学生问题”的问题是这样的： 从周一到周日，十五名女学生每天都有秩序地出去散步，排成五排，每排三个女孩。 他们如何计划一周中每一天的安排，以便没有一对女学生共用一条线超过一天？ 问题并不简单。 我建议先解决七个元素的问题，然后继续前进，以提高你的成绩，解决十五个女学生的问题。 您可以关注 材料 在 Facebook, X e Instagram点击此处接收 我们的每周通讯。 […]
塔和三角形| 科学游戏
谢尔宾斯基三角。大英百科全书（Universal Images Group via Getty Images） 在过去的几周里，我们已经看到了令人惊讶的关系 河内塔 骗局 汉密尔顿之旅以及国际象棋发明者的传奇，多才多艺的车仍然有一些惊喜。 例如，他与 谢尔宾斯基三角我们的定期评论员卢卡·坦加内利指出。 尽管波兰数学家 瓦茨瓦夫·谢尔平斯基 （1882-1969）以其著名的“地毯”而闻名，他还设计了其他分形物体，例如以他的名字命名的三角形，其获得如下： 在等边三角形中（任何三角形都可以），我们将边的中点连接起来，并消除由此得到的中心三角形（图中空白），留下3个三角形，其连接面积为初始三角形的3/4。 我们对剩下的三个三角形做同样的事情，留下 9 个三角形，其关节面积是初始三角形的 9/16…等等。 更多信息 好吧，正如 Tanganelli 指出的那样：“河内塔的运动图就像一个谢尔宾斯基三角形，两个极端位置（圆盘都在一个轴上）之间的最短路径显示为该三角形的一侧“我问自己，两个极端位置之间是否存在更长的路径，事实证明是存在的。这条路径原来是哈密顿路径。” （我澄清一下，单圆盘的平凡塔的图是初始三角形，两个圆盘的塔的图是谢尔宾斯基过程的第一步，即将三角形分为四部分，依次类推。 ）。 谢尔宾斯基三角形的演变。 构建 Sierpinski 联合几何无限数学的步骤。亚历山大·霍多米奇（盖蒂图片社） 正如我们所见，对于由 n 个圆盘组成的塔，最短路径需要 2–1 次移动。 哈密顿路径需要多少步？ 两条路径都是唯一的吗？ 神的真名 说到奇怪的相似之处，贝拿勒斯的僧侣们不断地从河内的一座塔上搬走 64 个金圆盘的（杜撰的）传说，其艰巨的任务一旦完成，将意味着世界末日，这在一个著名的故事中也有对应的传说。亚瑟·克拉克的故事标题为 神的九十亿个名字讲述了一些西藏僧侣不断地将自己的字母组合起来，试图组成神的真名的故事； 当他们找到它时，就没有什么可做的了，星星也会熄灭。 考虑到藏文字母由三十个字母组成，上帝的名字不能超过九个字母，同一字母不能连续出现超过三次（因为这会导致即使对于藏人来说，这个名字也难以发音）和尚），可能的神名数量真的有数十亿数量级吗？ 或者说，在这种情况下，那些错误地将数十亿翻译为数万亿的人是否更接近事实？ 让我们给自己设定一个比西藏僧侣简单一些的任务：假设无论谁称至高无上的神为“上帝”，他都正确地知道了字母的数量以及元音和辅音的比例，但没有找到真正的名字。 由四个字母、两个元音和两个辅音组成、符合西班牙语形态的可能名称有多少个？ 但不要大声背诵它们，以防万一…… 您可以关注 材料 在 Facebook, X e Instagram来这里领取 […]
塔和超立方体| 科学游戏
在河内一座小小的塔楼里，有两个圆盘 A 和 B， 正如我们上周所看到的，执行从一个轴到另一个轴的转移的运动顺序是 ABA。 在三盘 A、B 和 C 中，顺序是 ABACABA。 也就是说，首先我们像三盘塔一样移动上面的三个圆盘，然后改变第四个圆盘的轴，最后重复三个圆盘的移动，将它们放在第四个圆盘上。 对于四个圆盘 A、B、C 和 D，过程类似：我们将前三个圆盘移动到另一个轴，将第四个圆盘更改为自由轴，然后重复前三个圆盘的顺序，将它们放置在第四个轴上：阿巴卡巴达巴卡巴。 因此，随着圆盘数量的增加，所需的移动次数按照顺序 1, 3, 7, 15, 31, 63… 增加，对于 n 个圆盘，所需的移动次数为 2ⁿ– 1，这解释了数值重合两个所谓的印度传说之间：国际象棋发明者的传说和贝拿勒斯神庙中 64 个金盘塔的传说。 正如我们还看到的，移动由三个圆盘组成的塔所需的运动顺序对应于 汉密尔顿之旅 由立方体的顶点。 但事情并没有就此结束（它才刚刚开始）：四个圆盘塔的运动顺序对应于穿过超正方体（4 维超立方体）顶点的哈密顿路线。 等等，无限地依此类推：正如数学家 DW Crowe 在二十世纪中叶所证明的那样，这种对应关系适用于任何高度的塔和任何尺寸的立方体：运动的次数以及 n 个圆盘的顺序 河内的一座塔 为了将它们转移到另一个轴，它们与 n 维超立方体中哈密顿路径的方向（和维度）序列完全对应。 更多信息 两位伟大的数学家大约在同一时间设计的两个木制拼图，汉密尔顿的十二面体和卢卡斯的河内塔，在一家玩具店的架子上重合。 乍一看似乎毫无关系； 但是，就像在十九世纪的肥皂剧中一样，他们最终发现他们是（拓扑上的）兄弟。 书法图形 上周，由于技术问题，评论部分被关闭，所以我会回去，这是九年来的第一次 致两周前的那些人。 Bretos Bursó […]
塔、立方体和棋盘| 科学
河内塔 是法国数学家设计的一个流行谜题 爱德华·卢卡斯 19世纪末。 它由三个垂直轴组成，其中一个垂直轴上堆叠一定数量的尺寸递减的穿孔盘，从底部开始从大到小。 挑战是将所有圆盘从它们所在的轴移动到另外两个圆盘之一，遵循以下简单规则： 一次只能移动一个圆盘，要移动它，所有其他圆盘都必须拧在某个轴上。 磁盘不能位于较小磁盘之上。 只能移动位于轴顶部的圆盘。 显然，光盘越多，传输就越复杂（在拼图的商业版本中通常有五到八张）。 达达主义 河内的一座塔 对于单个圆盘来说，这是微不足道的，很明显，一次移动就足以将该圆盘移动到另一个轴。 具有两个圆盘的塔也很简单：我们将较小的圆盘转移到两个自由轴之一，将较大的圆盘转移到另一个自由轴，最后将较小的圆盘放在较大的自由轴上。 现在让我们考虑一个由三个圆盘组成的塔，我们将其从最小到最大称为 A、B 和 C。对于第一个运动，只有一个选项：将圆盘 A 转移到两个自由轴之一。 对于第二次运动，只有一个非重复选项：将盘 B 移动到自由轴。 以下运动不是唯一的，但它们非常明显：3）A在B上，4）C在自由轴上，5）A在自由轴上，6）B在C上，7）A在B上。顺序是，然后，ABACABA。 更多信息 立方体 正如我们上周看到的汉密尔顿在柏拉图立体中研究了以他的名字命名的路线，其中包括通过所有顶点一次且仅一次。 对于立方体，如果我们称 A 为垂直方向，B 为水平方向，C 为前后方向，例如，从立方体的左上顶点开始，先向下，然后向右，然后向上，然后向后等等，直到完成简单的哈密顿路径，我们将看到方向（和维度）序列是ABACABA，与河内三盘塔中的相同。 仅仅是巧合？ 我邀请聪明的读者检查一下，找到由四个圆盘组成的塔的传输顺序，然后寻找一条穿过超立方体顶点的哈密顿路径（对于那些无法直接访问第四维的人来说，一个三维投影，如附图所示）。 两条路线有相似之处吗？ 超立方体的表示。卡罗·弗拉贝蒂 董事会 根据一个众所周知的传说， 国际象棋的传奇发明者 他向印度国王请求在棋盘的第一格放一粒麦子，第二格放两粒麦子，第三格放四粒麦子，第四格放八粒麦子，以此类推，直到第64格，使棋盘上的麦粒数量增加了一倍。每一个。 前一粒小麦。 那么，这个数字（18,446,744,073,709,551,615）等于将河内塔的所有棋子从一个轴移动到另一个轴所需的转移次数，该塔有 64 个棋盘，与棋盘上的格子一样多。 又一个巧合？ 顺便说一句，如果 64 个圆盘是金制成的，轴是钻石针，我们就会面临梵天塔的（杜撰的）传说，根据这个传说，当贝拿勒斯神庙的祭司完成移动时，世界就会终结。所有圆盘到另一个轴。 但不要惊慌：即使勤奋的僧侣每秒移动一个圆盘而不休息片刻，世界末日也不会迫在眉睫。 您可以关注 材料 在 Facebook, X e […]
沿着欧拉和汉密尔顿的道路| 科学游戏
关于帕斯卡-塔塔利亚-贾亚姆三角形中的“隐藏宝藏”，我们上周再次讨论了弗朗西斯科·维森特与斐波那契数列的关系（见脚注）。 image），下图是我自己创作的： 关于三角形中数字 e 的存在，Luca Tanganelli 说道：“我想到的 Jayam 三角形与 e 的关系如下。 三角形以其中心形式绘制，使两个相邻数字之间的距离等于线之间的距离。 然后绘制一条穿过 1-2-1 行的顶点和两端的抛物线。 在相同高度下，纵轴上的三角形的值与抛物线上的三角形的值之间的关系趋于e”。 太棒了，但是有人能想到一种更简单的关系吗？ Salva Fuster 提出了一个有趣的问题，我将其提交给聪明的读者考虑：“寻找猫的三英尺，我突然想到十进制数是否形成为 0，……其中我们用串联代替省略号构成三角形对角线的数字的数字总是无理数（第一个除外）： 0,1111… 0,1234… 0,13610……” 更多信息 欧拉和哈密顿之旅 几周前（见评论 2024 和四面体数）欧拉路径和哈密顿路径之间出现了短暂的混乱, 这是指出两条路线之间差异的一个很好的借口，这两条路线通常被认为是等效的，尽管实际上并非如此。 欧拉路径穿过图形（从数学上讲是图形）的所有边，每个边仅穿过一次。 绘制图形（例如，打开的信封）而不将铅笔从纸上抬起且不返回已绘制的线的典型消遣是通过欧拉路径解决的。 如果路径是闭合的（即，如果它在起点的同一点结束），则它是欧拉循环。 请注意，在众所周知的开放信封消遣中，有可能（事实上这是不可避免的）再次穿过相同的顶点，但不能穿过同一条线。 绘制信封，构成欧拉路径的经典示例 然而，在哈密顿路径中，它只穿过所有顶点一次。 与前面的情况一样，如果路径是闭合的，则称为哈密顿循环。 当然，一条路径可以同时是欧拉路径和哈密顿路径（一条路径必须满足什么条件才能既是欧拉路径又是哈密顿路径） 欧莱里亚诺 是哈密尔顿吗？）。 就像最近重新审视的帕斯卡-塔塔利亚三角形一样，我们所知的哈密顿路径早已被东方数学家研究过。 早在 9 世纪，印度诗人鲁德拉塔 (Rudrata) 就谈到了“马的路径”：跳吉格围绕整个棋盘的旅程，每个方格只经过一次（你能完成这个旅程吗？你明白为什么这是一个哈密顿路径？？）。 汉密尔顿研究了柏拉图立体中以他的名字命名的路径，并于 1857 年允许销售基于汉密尔顿路径的谜题，该谜题包括沿着十二面体的边缘找到一条仅通过其所有顶点一次的路径（它似乎汉密尔顿当时收到的 25 英镑是他因数学发现而收到的全部钱）。 您可以享受解决这个问题的乐趣，而无需使用十二面体本身，即三维：它在平面上的投影也同样有效（因此问题的第一部分包括绘制十二面体的二维拓扑等价物） ）。 您可以关注 材料 […]
数学：2024 和四面体数 | 科学游戏
堆叠球体四面体卡罗·弗拉贝蒂 我必须首先纠正一个遗漏： 上周我谈到了 2024 年 和方锥体数，我没有提到2024也是一个锥体数，虽然不是正方形而是三角形。 幸运的是，我善良的读者通常都知道：哈维尔·塔梅斯 (Javier Tamames) 提醒我，2024 年是一个 四面体数 （也称为三角锥数字），伊格纳西奥·拉罗萨 (Ignacio Larrosa) 以堆叠球体的三角金字塔的形式发送了一个雄辩的可视化，其 22 层加起来为 2024 年。 底面为三角形的金字塔是四面体，因此三棱锥数也称为四面体。 如果在球体堆叠的可视化中，我们将每个级别的球体相加，从顶部开始，我们将获得四面体编号的序列（对应于四面体的球体数量 1、2、3、4…每边都有球体）：1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364… 更多信息 金字塔的连续层依次形成三角形数字序列（可显示为球体的等边三角形）： 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78… 底面为三角形的金字塔是四面体卡罗·弗拉贝蒂 因此，第 n 个四面体数 (Tn) 是前 n […]