施泰纳椭圆 | 科学游戏

正如我们所看到的 上星期，“女学生问题”承认 7 个非同构解（即具有不同的结构），由美国数学家 Frank Nelson Cole（1861-1926）于 1922 年列出，他在 20 世纪初因发现第 67 个梅森数 (2⁶⁷– 1) 的因子。 爱德华·卢卡斯（Édouard Lucas）已经证明 M₆₇ 不是素数，但他无法分解它。 当纸和笔是唯一可用的计算器时，科尔完成了找到这些因素的壮举（正如他承认的那样，三年来每周日都致力于解决这个问题）：

M⁶⁷ = 147.573.952.589.676.412.927 = 193.707.721 × 761.838.257.287

科尔还计算了（与之前的计算相比有点小）女学生问题的解总数 – 包括同构解：

十五！ x 13/42 = 404,756,352,000（你如何得到这个数字？）。

正椭圆和椭圆

正如我们上周看到的，瑞士数学家雅各布·施泰纳（Jakob Steiner）除了对组合设计理论做出了重要贡献（他的“最小树”——图形盆景—— 我们已经处理这个问题五年了）是有史以来最伟大的几何学家之一； 据一些人说，他是佩尔加的阿波罗尼乌斯之后最伟大的人物。 他厌恶解析几何，认为解析几何污染了“纯”几何，他的工作完全基于合成和射影几何的方法，他对合成和射影几何的发展做出了显着的贡献。

在谈论施泰纳时提到阿波罗尼乌斯特别相关，因为像这位伟大的几何学家一样，他对几何学做出了重要贡献。 二次曲线的研究。 在这一领域，斯坦纳最著名的是他的三角形外接椭圆和内接椭圆。

施泰纳外接椭圆是唯一通过一个椭圆的所有三个顶点的椭圆 三角形 其中心是它的质心或质心（请记住，三角形的质心是其中线的交点，如果我们将其视为物理对象，则它与其重心重合）。

有人可能认为圆也是椭圆，因此三角形的外接圆也是斯坦纳外接椭圆。 但事实并非如此，因为外接圆的中心（外心）是三角形平分线的交点，而不是其中线的交点（原因很明显：三角形的所有点 媒体矩阵 每条边与该边对应的两个顶点的距离相等，因此平分线的交点与三个顶点的距离相等）。

在其他属性中，斯坦纳外接椭圆是所有由三角形外接的椭圆中面积最小的一个（你能根据三角形的面积计算它吗？）。

当我们在没有指定任何其他内容的情况下谈论斯坦纳椭圆时，我们指的是它的外接椭圆，不应将其与内椭圆混淆。 施泰纳椭圆是内切于三角形且与其边的中点相切的椭圆（用“the”是合理的，因为它是唯一的）。 斯坦纳椭圆的表面积是斯坦纳外接椭圆的四分之一（你能证明吗？）。

我建议聪明的读者首先分析等边三角形的外接椭圆和内椭圆的特殊且简单得多的情况。

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