啤酒在排空的哪个阶段最稳定？| 科学游戏

某个人生日和你生日在同一周的概率显然是 1/52（如果我们将“同一周”理解为从周一到周日的相同间隔；如果我们谈论生日间隔不超过七天的概率几乎翻倍）。但是，对于七人组中任何两个人来说，生日在同一周的概率要高得多，正如上一期所提出的，这与直觉相反。其中两个人属于同一个星座的概率甚至更大。

与其他此类问题一样，计算某事不发生的概率以确定其互补概率更为容易。让我们专注于黄道十二宫的情况，采用与周数相同的方法，但数字更易于管理。让我们从 1 到 7 任意编号开始。2 与 1 不为同一符号的概率为 11/12；3 与 1 或 2 不为同一符号的概率为 10/12……，7 与其它 6 个不为同一符号的概率为 6/12。因此，这些匹配都不发生的概率为：

11/12 x 10/12 x 9/12 x 8/12 x 7/12 x 6/12 = 大约 0.11。

因此，至少有两个人属于同一星座，互补的概率几乎是 90%。下一次，在一个小的聚会上，两个 magufa 认为他们属于同一个星座的巧合是命运的象征，你可以用数学的不可抗拒的裁决来惹恼他们（或者不）。

使用同样的方法，尽管操作稍微繁琐一些，但可以验证在23个人中至少有两人在同一天过生日的概率略高于50%（由于其结果违反直觉，这被称为“生日悖论”）。

同样，对于我们将其命名并放在桌子上的牌，计算没有一张牌符合其召唤的概率会更容易，因为对于每一张牌来说，这个概率是 39/40。因此，没有一张牌符合您的名字的概率将是 39/40 的 40 次方，约为 0.363。因此，在命名时至少出现一张牌的概率约为 1 – 0.363 = 0.637。在您尝试的三次中，有两次，当您说出其名字时，至少有一张牌会“神奇地”出现。

等腰三角形和啤酒罐

直觉不仅会通过让可能的事情看起来不太可能来欺骗我们，还会通过估计问题的难度来欺骗我们。让我们看几个例子（显然 – 只是显然 – 彼此无关）：

1. 给定一个等腰三角形，其等边长为 10 厘米，第三边必须有多长才能使其面积最大？这看起来像是一个典型的最大最小问题，可以通过将三角形面积表示为第三边的函数并对该函数进行微分来解决。看起来是这样，因为事实确实如此；但是，只要稍加巧思，就可以解决这个问题，而无需借助微积分。

1. 对于一个装满啤酒的罐子，如果我们认为它是完美的圆柱形和均匀的，重心就是圆柱轴线的中点。当啤酒罐倒空时，重心会下降，罐子在底部的平衡会变得更加稳定（似乎是为了补偿消费者的稳定性损失）。但是，一旦啤酒罐完全倒空，重心就会回到轴线的中点，所以在倒空的过程中，重心会逐渐达到最低点，然后再次上升。如果罐子高 20 厘米，空罐重 45 克，装满啤酒时重 360 克，那么当重心处于最低点时，罐子里有多少啤酒？

似乎又要用微积分来解决这一问题了，普林斯顿大学的 Walter B. Roberts 在一次野餐期间提出了这一问题并解决了它；但随后（大概是在罐子里的气体消散之后）他意识到，这个问题可以很轻松地解决，无需使用函数或导数。

前两个问题似乎毫无关联；然而（这对第二个问题来说是一个很好的线索，比第一个问题更难）它们都需要同样的视角变化才能解决。从字面上讲，就是从不同的角度看待它们。

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