折纸艺术| 科学游戏

黄金矩形和上周提到的熟悉的 DIN A4 纸都具有易于自我复制的特性。 如果我们从黄金矩形中删除一个边长等于其较小边的正方形，则剩下的矩形与第一个矩形类似（因此也是黄金矩形）。

如果我们以初始矩形的短边为单位，将其长边称为x，为了使两个矩形相似，它们的边必须成比例，因此：

x:1 = 1:(x-1)

x2 – x – 1 = 0

x = 1.618… = Φ（黄金数）

对于 DIN A4 纸张，自我复制更加简单：将其对折，我们得到两张与整张纸类似的 DIN A5 纸张。 如果我们再次以纸张的短边为单位并将长边称为 x，我们现在将得到：

x:1 = 1:(x/2)

x²/2 = 1

x = √2 = 1,414…

DIN A4 这个名字来自于 德国标准化研究所：DIN 是 Deutsches Institut für Normung 的缩写，4 表示原始纸张 A0（尺寸为 841×1189 毫米）必须折叠以获得熟悉的 210×297 毫米格式，大致对应于旧的对开页，与 A5 接近旧页面和 A6 接近传单的方式相同。

如果在附图中我们适当改变A3、A4及其后的位置，我们将得到一个类似于著名的黄金螺旋的尖峰准螺旋的框架：DIN伪螺旋。 你能对她说些什么？

而且，说到折叠，您认为一张纸可以折叠并折叠多少次？ 如果你尝试一下，你会发现你将无法连续折叠超过七次。 普通纸张的厚度约为十分之一毫米，因此经过七次折叠后，您手中将得到一张厚度约为 13 毫米的小而不实用的纸坯。 但是，如果你可以无限期地折叠和重新折叠，那么你需要折叠一张纸多少次才能将最终的纸坯到达月球？ 纸张的尺寸必须是多少才能进行操作（在纸张不具有抗弯曲性的理想情况下）？

至于五角形，如果你还没有找到它的面积与内部倒五角形的面积比例，你还有第二次机会：记住，五角形有 10 个等腰三角形，5 个锐角（星形）和 5 个钝角，所有钝角的最大边和最小边之间的比率都是黄金比例（1.618…）。 而正五边形中，对角线和边长也符合黄金比例。 那么，五角星与其内反五角星的面积之比是多少呢？ 警告：在弗雷德里克·布朗的著名短篇小说中，一位想成为女巫的人因为不了解足够的五角星几何而被魔鬼困住，所以……

从 DIN 折叠到地图折叠

回到折叠一张纸的艺术，一个与物理上可以折叠多少次同样有趣的问题是我们可以用多少种不同的方式折叠它。 如果它是一张空白纸，要以通常的方式对折（即连接较短的边缘），那么这个问题就无关紧要了； 但如果它是双面都有图像和/或文本的印刷纸张，我们可以用两种方式折叠它，具体取决于我们遗漏哪一面，当我们再次折叠它时，我们又有两种可能性，依此类推。 也就是说，我们有 2ⁿ 的可能性，其中 n 是加倍的次数（在 DIN 格​​式的情况下，总是给出与第一个类似的矩形）。

但在现实世界中，当我们发现一张折叠了多次的纸张时，它通常不是连续折叠的 DIN 型介体，因为在例如显示地图时，它并不实用。 然后事情就会变得相当复杂。

如果“拉长”折叠也有效，即连接最长的边，我们可以用多少种不同的方式将一张纸连续折叠两次？ 还有三次、四次……？

如果我们也考虑不是对半的折叠，就像我们在地图上实际找到的那样，我们就会进入一个复杂而难以捉摸的组合数学领域，数学家自己将其描述为“令人恼火”：地图折叠。 但这是另一篇文章了。

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