神圣的多边形和被诅咒的星星| 科学游戏

正如我们上周所看到的，半径为 1、2 和 3 且彼此相切的圆心是直角三角形的顶点。 而且不只是任何一个，而是边长为 3、4 和 5 的那个，正是埃及人的神圣三角形，他们知道与这个三角形的最长边相对的角度是正确的，尽管不确定他们是否概括了这一点这个结果适用于所有边满足关系 a² = b² + c² 的三角形（即，他们知道毕达哥拉斯定理）。

正如 Salva Fuster 指出的那样：“对于半径分别为 1、2 和 3 的彼此相切的圆，一旦将它们的圆心画成边长为 3、4 和 5 的直角三角形，就很容易看出，这三个圆的外切圆将为 6，并且其圆心将恰好位于与其他三个圆心形成矩形的点处。” （因为？）。

用几何方法求内切圆的半径并不是那么简单。 我们可以借助公式：

Q² + R² + S² + T² = 1/2 (Q + R+ S + T)²

但是，正如我们所见，计算又长又麻烦，因此使用另一个直接给出 T 的公式会很方便：

T = Q + R + S + 2√(QR + QS + RS)

T = 1 + 1/2 + 1/3 + 2√(1/2 + 1/3 + 1/6) = 11/6 + 2 = 23/6

因此，内切圆的半径将为 1/T = 6/23

如果我们应用根的负值：

T = 11/6 – 2 = –1/6

它对应于外切圆的半径，正如我们所见，考虑到它的曲率是负值，它的大小为 6 个单位（在内切圆的情况下，四个圆与其凸部“接吻”，而外切圆则接吻）另外三个带有凹入部分）。

从神圣的三角形到邪恶的五角星

埃及人的金三角并不是唯一神圣的、金色的、神秘的……或被诅咒的多边形。 在不离开三角形范围的情况下，等边三角形将是卓越的神圣三角形，因为它代表上帝本人（神圣三位一体），并且不仅对于基督教而言：对于印度教而言，它也是神圣三位一体的象征：梵天、毗湿奴和湿婆。

在四边形中，黄金矩形最为突出，它的边长比例为1:1.618（你还记得为什么吗？或者你能推导出来吗？）。 常见的 DIN A4 对开页尺寸为 210 x 297 毫米，不太是金色，但它有一个有趣的几何特性，使其非常特别（是哪一个？）。 另一种常见的矩形是多米诺骨牌或榻榻米，边长比例为 1:2，我们经常在砖块和瓷砖中看到这种长方形，因为它的优点是能够将两个较小的边与一个较大的边连接起来来建造墙壁或瓷砖地板。

就正五边形而言，它的对角线决定了神圣的图形：五角星、五芒星或五角星，毕达哥拉斯学派所崇敬的五角星。 在其他几何微妙之处中，上述神圣比例位于五角星中。 （你能找到吗？）。

如果我们画出五角星的内五边形的对角线，我们就会得到另一个，但是是倒置的，这种倒置不仅是空间上的，因为颠倒的五角星是一个邪恶的符号，如果你不确定它的诅咒，它的诅咒就会降临到你身上。五角星面积与其内部反五角星面积之间的比例。 或者，如果您没有正确绘制它们，则必须首先用尺子（未刻度）和圆规绘制正五边形。

就正六边形而言，构造非常简单，因为六边形的边长等于外接圆的半径，构造等边三角形或正方形同样容易； 但对于五边形来说，它会花费你更多一些。 如果成功了，请尝试其他正多边形：八边形、九边形、十边形……直到达到难以捉摸的十七边形（17 边形）。 振作起来，高斯在他19岁的时候就得到了它。

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